幂率分布

概率函数

假设变量x服从参数为 $\alpha$的幂率分布,其概率密度函数可以表示为

$$f(x)=cx^{-\alpha-1},x→∞$$

通式

$$lny=lnc-rlnx$$

图像

灰度直方图

我们选用高对比度的图片high.png

from PIL import Image
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取图片
image = Image.open('high.png')

# 将图片转换为灰度图像
gray_image = image.convert('L')

# 计算像素值的分布
pixel_values = np.array(gray_image.histogram())

# 绘制直方图
plt.bar(range(256), pixel_values, color='gray')
plt.xlabel('Pixel Value')
plt.ylabel('Frequency')
plt.title('Image Histogram')

# 显示直方图
plt.show()

随后我们将用幂率分布对其进行拟合

# 幂律分布的参数  
alpha = 3.0  # 幂律分布的指数  
xmin = 10.0  # 最小值  
xmax = 250.0  # 最大值  
  
# 创建x值的数组  
x = np.linspace(xmin, xmax, 1000)  
  
# 计算幂律分布的概率密度函数值  
def power_law_pdf(x, alpha, xmin):  
    return alpha * (xmin ** alpha) / x ** (alpha + 1)  
  
y = 300000*power_law_pdf(x, alpha, xmin)+3000
  
# 绘制幂律分布曲线  
plt.plot(x, y, label=f'Power Law Distribution (alpha={alpha})')  
  
# 设置标题和坐标轴标签  
plt.title('Power Law Distribution Curve')  
plt.xlabel('Value')  
plt.ylabel('Probability Density')  
  
# 显示图例  
plt.legend()  
  
# 显示图形  
plt.show()

或者我们把直方图均匀化

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
image = cv2.imread(r'high.png', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
equ = cv2.equalizeHist(image)
plt.hist(equ.ravel(), 256)
plt.show()
cv2.imshow('result', equ)
cv2.waitKey()

在对其进行拟合

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
image = cv2.imread(r'high.png', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
equ = cv2.equalizeHist(image)
plt.hist(equ.ravel(), 256)

import numpy as np  
import matplotlib.pyplot as plt  
  

from PIL import Image


# 幂律分布的参数  
alpha = 10.0  # 幂律分布的指数  
xmin = 70.0  # 最小值  
xmax = 250.0  # 最大值  
  
# 创建x值的数组  
x = np.linspace(xmin, xmax, 1000)  
  
# 计算幂律分布的概率密度函数值  
def power_law_pdf(x, alpha, xmin):  
    return alpha * (xmin ** alpha) / x ** (alpha + 1)  
  
y = 500000*power_law_pdf(x, alpha, xmin)+3000
  
# 绘制幂律分布曲线  
plt.plot(x, y, label=f'Power Law Distribution (alpha={alpha})')  
  
# 设置标题和坐标轴标签  
plt.title('Power Law Distribution Curve')  
plt.xlabel('Value')  
plt.ylabel('Probability Density')  
  
# 显示图例  
plt.legend()  
  
# 显示图形  
plt.show()